Problema propuesto por Bruno Holland y Samuel Vitosa
Envía tu solución a [email protected]. No olvide escribir su nombre, ciudad y escuela, si es posible. Publicaremos la solución el próximo domingo.
Las sumas de las tres columnas y las tres filas de la tabla son iguales.
¿Cuál es la menor cantidad de lugares en la tabla que se deben cambiar para que las 6 nuevas sumas difieran entre sí? Cambiar significa reemplazar el número de la casa con cualquier otro número. Por ejemplo, reemplace el número 1 que aparece en el centro con el número 201.
172- Resuelve el rompecabezas.
Primera solucion:
Tenga en cuenta que si una rana pasa de un paso de número par a un número impar (cambia la valencia), la otra rana con la que se mueve también saltará un número impar de pasos, cambiando también la valencia. Si el primero no cambia, su compañero en movimiento también se mantendrá en el mismo nivel de paridad. Por lo tanto, la equivalencia del número de ranas en las puntuaciones pares es siempre la misma. (Compruébelo probando posibles movimientos). Como en la posición inicial hay 5 ranas en los pasos de la posición par, al final no podemos tener 10 o 0 ranas en los pasos de la posición par, ya que 0 y 10 son números pares.
Segunda solución:
Numere las puntuaciones del 1 al 10 y haga coincidir cada rana con el número de puntuación que ocupa. La suma prima del número de ranas es S = 1 + 2 + … + 10 = 55. Si una rana salta X Otra rana desciende y salta por la misma cantidad X hacia arriba, o viceversa, la suma de S no cambia. Pero si todas las ranas ocupan el mismo paso norte, su suma será de 10n. Entonces 10n = 55, lo cual no es posible porque 55 no es múltiplo de 10.
Bruno Holland Profesor de Universidad Federal de Goiás y Catedrático Samuel Vitosa de la Universidad Federal de Bahía.
